Óptimo del Consumidor, Función Indirecta de Utilidad y Función del Gasto Mínimo

Problema 1 : Si U=XY; Px=2;Py=4; m=40, encuentre el consumo de X del consumidor

Problema 2: Si U=XY; Px=2; Py=4 encuentre el máximo nivel de utilidad obtenido

Problema 3: Si U=XY; Px=2; Py=4; U=50, encuentre el gasto mínimo del consumidor

Problema No. 1: Si U=XY la tasa subjetivo de cambio, TSC, (pendiente de la curva de indiferencia) es Y/X. La TSC mide el número de unidades de Y que estamos dispuestos a entregar a cambio de una unidad adicional de X. Alternativamente, X/Y es la TSC que mide el número de unidades de X que estamos dispuestos a entregar a cambio de una unidad adicional de Y.

Px/Py es la tasa objetiva de cambio, TOC, (pendiente de la recta de presupuesto. La TOC mide el número de unidades de Y que tenemos que entregar a cambio de una unidad adicional de X.

El óptimo del consumidor se encuentra cuando la TSC=TOC, en consecuencia

$LaTeX: \frac{Y}{X}=\frac{P_x}{P_y}=\frac{2}{4}\Longrightarrow X=2Y\:\:\:\:\left(I\right)$

La ecuación de la recta de presupuesto es

$LaTeX: P_xX+P_yY=m\Longrightarrow2X+4Y=40\:\:\:\:\left(II\right)$

Reemplazando (I) en (II):

$LaTeX: 4Y+4Y=40\Rightarrow Y^{\ast}=5\Rightarrow X^{\ast}=10\:\:$

Para cualquier función de utilidad del tipo Cobb Douglas, $LaTeX: U=X^{\alpha}Y^{\beta}\:$ y dados $LaTeX: P_x,\:P_y,\:m\:$ , la TSC es igual a $LaTeX: \frac{\alpha Y}{\beta X}\:$ , la TOC es $LaTeX: \frac{P_x}{P_y}\:$ ; en consecuencia $LaTeX: \beta P_xX=\alpha P_yY\:\Rightarrow Y=\frac{\beta P_xX}{\alpha P_y}\:$ . La ecuación de la recta de presupuesto es $LaTeX: P_xX+P_yY=m\:$ en consecuencia podemos obtener $LaTeX: P_xX+P_y\left(\frac{\beta P_xX}{\alpha P_y}\right)=m\Rightarrow P_xX+\frac{\beta P_xX}{\alpha}=m\Rightarrow X^{\ast}=\frac{\alpha m}{\left(\alpha+\beta\right)P_x}\Rightarrow Y^{\ast}=\frac{\beta m}{\left(\alpha+\beta\right)P_y}\:$ .

Gráficamente

Problema No. 2: Si conocemos los precios de los bienes, el ingreso y la función de utilidad, podemos estimar las cantidades óptimas de X y de Y. Considerando una función de utilidad del tipo Cobb Douglas como $LaTeX: U=XY\:$ , la demanda de X y de Y se obtienen mediante la fórmula: $LaTeX: X^{\ast}=\frac{m}{2P_x}\:,\:\:Y^{\ast}=\frac{m}{2P_y}\:$ . En consecuencia la máxima utilidad resultante se encuentra mediante $LaTeX: U=XY=\frac{m}{2P_x}\frac{m}{2P_y}\Rightarrow U=\frac{m^2}{4P_xP_y}\:\:$ que se conoce como la función indirecta de utilidad. Aquí la utilidad depende del ingreso y del precio de los bienes. Reemplazando por los valores de los precios y del ingreso se obtiene $LaTeX: U=\frac{40^2}{4\cdot2\cdot4}=50\:$ .

Gráficamente:

Problema No. 3: Si conocemos los precios de los bienes, la función de utilidad y la utilidad, podemos encontrar el gasto mínimo que hace el consumidor para obtener esa utilidad. Recordemos que el consumidor maximiza utilidad sujeto a la restricción de presupuesto. Su ingreso tiene que ser igual al gasto en los bienes. Ya conocemos la función indirecta de utilidad $LaTeX: U=\frac{m^2}{4P_xP_y}\:\:$ ,si despejamos el ingreso obtenemos $LaTeX: m=\sqrt{4UP_xP_y}\:$ que se conoce como la función de gasto mínimo. Reemplazando por el nivel de utilidad y los precios, se obtiene $LaTeX: U=\sqrt{4\cdot50\cdot2\cdot4}=40\:$ .

Gráficamente:

Pueden trabajar diferentes problemas empleando la siguiente hoja de cálculo: CLICK AQUÍ

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