Daniel nos ha enviado este muy interesante problema:
$latex U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }$
Se trata de determinar el nivel de utilidad que generan las combinaciones de los bienes 1 y 2 , $latex (X_1 , X_2)$. Para cualquier combinación $latex (X_1 , X_2)$ , $latex frac{X_1+X_2}{3}$ queda determinado, y el nivel de utilidad es el valor mínimo entre los valores de $latex X_1$ , $latex X_2$ y $latex frac{X_1+X_2}{3}$.
Si $latex (X_1 , X_2)$ fuera una combinación de esquina, entonces el nivel de utilidad es cero porque $latex frac{X_1+X_2}{3}$ siempre será mayor que cero. En el siguiente cuadro se aprecian posibles combinaciones de esquina:
Si el bien 1 es cero y el bien 2 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. si el bien 2 es cero y el bien 1 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. La conclusión, es que para esta función de utilidad, las combinaciones de esquina no generan ningún nivel de utilidad y la curva de indiferencia que las representa es el cuadrante positivo de las cantidades del bien 1 y del bien 2.
Si las combinaciones $latex (X_1 , X_2)$ fueran interiores, es decir, si el consumidor prefiere cantidades positivas de cada uno de los bienes, el nivel de utilidad queda determinado por $latex frac{X_1+X_2}{3}$ siempre que
$latex frac{X_1+X_2}{3}leq X_1$ o también siempre que
$latex frac{X_1+X_2}{3}leq X_2$.
Para estos casos el nivel de utilidad se corresponde con el de bienes sustitutos perfecto. El siguiente cuadro muestra algunas combinaciones.
Si hacemos $latex frac{X_1+X_2}{3}=U=1$, obtenemos todas las combinaciones de los bienes 1 y 2 que generan un nivel de utilidad de 1. La utilidad obtenida es igual a 2 para las combinaciones donde $latex frac{X_1+X_2}{3}=U=2$. Y para las combinaciones donde $latex frac{X_1+X_2}{3}=U=3$ y para las combinaciones donde $latex frac{X_1+X_2}{3}=U=4$ y para las combinaciones donde $latex frac{X_1+X_2}{3}=U=5$. En todos los casos se trata de líneas rectas de pendiente positiva donde la TSC es igual a la unidad.
En consecuencia, para la función de utilidad
$latex U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }$
la utilidad es cero cuando se trata de combinaciones de esquina y es $latex U=X_1+X_2$ para combinaciones interiores. El gráfico que sigue muestra algunas de estas curvas de indiferencia.
Sin considerar las combinaciones de esquina, la conclusión más importante de este problema es, que la función de utilidad $latex U=frac{X_1+X_2}{3}$ es una transformación monótona de la función de utilidad
$latex U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }$
Y otra conclusión importante en términos de preferencias, es que el consumidor está dispuesto a sustituir a una tasa constante una cantidad de un bien para tener una unidad adicional del otro bien y mantenerse sobre el mismo nivel de utilidad, pero no está dispuesto a prescindir de uno de los bienes.