Rubén nos envía este problema:
Un mercado presenta una función de demanda
$latex P = 1000 – Q$
En él trabajan dos oligopolistas cuyas funciones de costes respectivas son las siguientes:
$latex CT_{1}=10+130Q_{1}$
$latex CT_{2}=10+170Q_{2}$
Se pide calcular las respectivas funciones de reacción, y la cantidad que cada uno suministra si siguen un modelo de Cournot.
Los costos marginales de cada duopolista son constantes
$latex CMg_{1}=130$
$latex CMg_{2}=170$
Para encontrar la solución a la Cournot, vamos a analizar primero, la conducta estratégica de la empresa 1. Como la demanda del mercado es
$latex P = 1000 – Q$
La demanda residual de la empresa 1 es
$latex P=1000-Q_{2}-Q_{1}$
Y el ingreso total es
$latex IT_{1} = 1000Q_{1} – Q_{1} Q_{2}-Q_{1}^{2}$
Y el ingreso marginal es
$latex IMg_{1} = 1000- Q_{2}-2Q_{1}$
Ahora igualamos el ingreso marginal con el costo marginal y obtenemos
$latex 1000- Q_{2}-2Q_{1}=130$
Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1
$latex Q_{1}=435-\frac{Q_{2}}{2}$
Seguimos el mismo procedimiento para obtener la función de reacción de la empresa 2:
La demanda residual de la empresa 2 es
$latex P=1000-Q_{1}-Q_{2}$
Y el ingreso total es
$latex IT_{2} = 1000Q_{2} – Q_{1} Q_{2}-Q_{2}^{2}$
Y el ingreso marginal es
$latex IMg_{2} = 1000- Q_{1}-2Q_{2}$
Ahora igualamos el ingreso marginal con el costo marginal y obtenemos
$latex 1000- Q_{1}-2Q_{2}=170$
Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1
$latex Q_{2}=415-\frac{Q_{1}}{2}$
En el siguiente grafico se muestran las funciones de reacción de los duopolistas. El punto de intersección entre ellas es el equilibrio Cournot. Resolviendo las ecuaciones de las funciones de reacción
$latex Q_{1}=435-\frac{Q_{2}}{2}$
$latex Q_{2}=415-\frac{Q_{1}}{2}$
Se obtiene $latex Q_{1}=303.33$ y $latex Q_{2}=263.33$ y $latex Q=566.66$ y el precio de venta sería $latex P=1000-566.66=433.33$
