Nora nos consulta este problema sobre costos:
Una empresa utiliza cierto numero de factores para producir un único producto. Actualmente está analizando emplear una de dos posibles plantas de producción. Las funciones de costos son :
$latex CT_{LP}=0.0005Q^{3}-1.4Q^{2}+280Q$PLANTA 1 : $latex CT_{CP} = 0.006Q^{3} – 1.33Q^{2} +201Q +6860$
PLANTA 2 : $latex CT_{CP} = 0.0057Q^{3}-1.424Q^{2} +205.6Q +10240$
Se quiere:1. Las ecuaciones del costo medio y costo marginal de largo plazo; del costo medio de corto plazo de cada una de las plantas, y del costo marginal de corto plazo de cada una de las plantas.
2. Encontrar el nivel de producción que minimiza los costos de corto plazo
3. ¿Pueden alcanzar el nivel de producción de costo mínimo, cualquiera de las plantas?
4. Encuentre el costo marginal de corto plazo cuando se producen 160 unidades en la planta 2
5. Encuentre el costo medio de corto plazo cuando se producen 160 unidades
6. ¿Qué planta se debe emplear si se tienen que producir 160 unidades?
7. ¿Para qué niveles de producción es mejor emplear la planta 2?
8. ¿Podría operar la planta 1 si el precio del producto fuera 120?
9. ¿Qué planta genera más beneficios con un precio de 120?
10. ¿Para qué precio la empresa es indiferente de emplear la planta 1 o la planta 2?
Solucionario
Dada la función de costo total de largo plazo, se pueden obtener las funciones de costo medio y costo marginal. El costo medio de largo plazo se obtiene dividiendo la función de costo total entre el volumen de producción (q); y la función de costo marginal es la primera derivada de la función de costo total:
$latex CMe_{LP}=0.0005q^{2}-1.4q+280$
$latex CMg_{LP}=0.0015q^{2}-2.8q+280$
El dibujo que sigue muestra el comportamiento de ambas curvas de largo plazo. Se puede apreciar que se trata de curvas en forma de U, que el mínimo del costo marginal se alcanza para un nivel de producción menor al nivel de producción que minimiza el costo medio, y que en el nivel de producción que minimiza el costo medio, el costo medio es igual al costo marginal. Pero se aprecia también el tramo de producción donde el costo medio es negativo y donde el costo marginal es negativo. Cuando el costo medio está en su tramo creciente, el costo marginal es mayor.
En el largo plazo, y en un mercado competitivo, la empresa estará dispuesta a producir cantidades positivas siempre que el precio sea igual al costo marginal y mayor o al menos igual al costo medio. Pero se entiende que los costos siempre son positivos. En este caso, la curva de costo medio de largo plazo es factible sólo a partir de 2583.22 unidades (donde el costo medio es cero). En consecuencia, la empresa estará dispuesta a producir a a precios iguales a su costo marginal en el tramo en que es mayor al costo medio positivo.
Vamos ahora a analizar el comportamiento de los costos de corto plazo en cada una de las plantas. Primero el caso de la planta 1:
$latex CMe_{CP}=0.0006q^{2}-1.33q+201+\frac{6860}{q}$
$latex CMg_{CP}=0.018q^{2}-2.66q+201$
El dibujo que sigue muestra el comportamiento de ambas curvas de corto plazo para la planta 1. Se puede apreciar que para niveles menores de producción, los costos medios y marginales tienden a crecer a mayor velocidad que los costos de largo plazo. Ambas curvas de corto plazo tienen forma de U pero son más estrechas que las curvas de largo plazo. Igual que en las curvas de largo plazo, el tramo viable de producción es el que corresponde a los costos medios positivos. Y los costos medios son positivos a partir de un nivel de producción de 2050.58 unidades. La empresa va a producir en el corto plazo con esta planta, si los precios son iguales al costo marginal y mayores al costo medio, para niveles de producción mayores a 2050.58 unidades.
Vamos ahora a analizar el comportamiento de los costos de corto plazo de la planta 2:
$latex CMe_{CP}=0.0057q^{2}-1.424q+205.6+\frac{10240}{q}$
$latex CMg_{CP}=0.0171q^{2}-2.848q+20536$
El dibujo que sigue muestra el comportamiento de ambas curvas de corto plazo para la planta 2. Se puede apreciar que para niveles menores de producción, los costos medios y marginales tienden a crecer a mayor velocidad que los costos de la plaanta 1 y que los costos de largo plazo. Ambas curvas de corto plazo tienen forma de U pero son más estrechas que las curvas de corto plazo de la planta 1 y que las curvas de largo plazo. A diferencia de las curvas de largo plazo y de las curvas de la planta 1, no existe aquí un tramo donde los costos sean negativos. El nivel de producción donde el costo medio es mínimo es de 160.031 unidades y el costo medio mínimo es de 187.68 nuevos soles. La empresa va a producir en el corto plazo con esta planta, si los precios son iguales al costo marginal y mayores o iguales al costo medio.
En conclusión, la planta 1 tiene un costo medio mínimo no viable porque es negativo. Y la planta 2 si tiene un nivel de producción que minimiza el costo medio.
El costo marginal de corto plazo en la planta 2 cuando se producen 160 unidades, es de 187.68 nuevos unidades, e igual al costo medio, porque se trata del nivel de producción donde el costo medio es mínimo.
Si se tiene que producir 160 unidades, y se tiene que escoger entre producirlas en la planta 1 o la planta 2, parecería que se minimizan costos en la planta 1, pues al producir aquí el costo medio es negativo. Es decir, al producir 160 unidades en esta planta no se genera un costo para la empresa sino un ingreso. Y esto es absurdo. El tramo relevante de producción se genera a partir de 2050.58 unidades cuando el costo medio se hace positivo. En consecuencia, aunque con costos medios mayores, las 160 unidades se deben producir en la planta 2.
El resto de preguntas se pueden desarrollar a partir de lo dicho hasta aquí.